DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EXPONENCIAL 

Es conocida formalmente como una función real e* ,donde e es el numero de Euler. Esta función tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales y con la particularidad de que su derivada es la misma función.

Se denota equivalentemente como f(x)=e* o exp(x), donde e es la base de los logaritmos naturales y corresponde a la función inversa  del logaritmo natural.

"     E(x)=K . a*   "

PROPIEDADES

La función exponencial (y exponenciales es base distinta a e ) satisfacen las siguientes propiedades generales.

• Son las únicas funciones que son igual a su derivada (multiplicada por una constante, en el caso de que tenga una base distinta a e)
• exp(x + y) = exp(x) . exp(y)
• exp (x - y) = exp (x) / exp (y)
• exp (- x) = 1/exp(x)
• exp (0) = 1

 DERIVADA

La importancia de las funciones exponenciales en matemáticas y ciencias radica principalmente de las  propiedades de su derivada. En particular,

d/dx e* = e*

Es decir, e* es una propia derivada. Es la única función con esa propiedad.

• La pendiente del gráfico en cualquier punto es la función en ese punto, 
• la razón de aumento de la función en x es igual al valor de la función en x
• La función es solución de la ecuación diferencial y' = y.

Si la base de la función exponencial es cualquier numero  real a mayor que 0,entonces su derivada se puede generalizar así:

d/dx a*=a* .In(a)

Donde la función In(a) es el logaritmo natural de a. En el caso particular de a = e resulta que In(e) =1 y por lo tanto.

• d/dx e*= e*

La función exponencial

La función exponencial es de la forma y=ax, siendo a un número real positivo. 

• El dominio son todos los reales y el recorrido son los reales positivos.

• Es continua.

• Si a>1 la función es creciente y si 0<a<1 es decreciente.

• Corta al eje OY en (0,1).

• El eje OX es asíntota.

• La función es inyectiva, esto es si am=an entonces m=n.

 En la figura se ve el trazado de la gráfica de y=2x